定义证明二重极限

定义证明二重极限

就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A

关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0<户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周<。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜

上海龙凤1314 shlf利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,单调递减

上海龙凤1314 shlf且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

上海龙凤1314 shlf以 时 和 为例引入.

介绍符号: 的意义, 的`直观意义.

定义 ( 和 . )

上海龙凤1314 shlf几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

上海龙凤1314 shlf例1验证 例2验证 例3验证 证 ……

(二)时函数的极限：

由 考虑 时的极限引入.

定义函数极限的“ ”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

上海龙凤1314 shlf例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =

上海龙凤1314 shlf为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有

上海龙凤1314 shlf例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.

上海龙凤1314 shlf例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.

例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有

上海龙凤1314 shlf= §2 函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.

上海龙凤1314 shlf二、讲授新课：

上海龙凤1314 shlf(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

上海龙凤1314 shlf4.单调性( 不等式性质 ):

Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )

註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)

(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值 )

这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

上海龙凤1314 shlf利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.

例1( 利用极限 和 )

例2例3註:关于 的有理分式当 时的极限.

例4 [ 利用公式 ]

例5例6例7

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